2.2.1.2 Уравнения для численного моделирования

Следующий: 2.2.2 Начальные условия и Вверх: 2.2.1 Приближение тонкого слоя Предыдущий: 2.2.1.1 Исходные уравнения

2.2.1.2 Уравнения для численного моделирования

Численная схема для решения трехмерных задач, основанная на приближении тонкого слоя, была развита в работах [80,59]. Следуя этим работам, приведем уравнения, полученные в предыдущем параграфе, к виду, удобному для непосредственных вычислений. Введем вектор ${\bf J}(x,y,z)$ . Его компонентами являются якобианы в соответствующей точке поверхности:

$\begin{displaymath} J_x = \frac{\partial (y,z)}{\partial (\lambda_1,\lambda_2)}... ... J_z = \frac{\partial (x,y)}{\partial (\lambda_1,\lambda_2)} , \end{displaymath}$

(2.8)

где $\lambda_1$ и $\lambda_2$ -- лагранжевые координаты на поверхности оболочки,

$\begin{displaymath} J_x = \frac{\partial (y,z)}{\partial (\lambda_1,\lambda_2)}... ...rac{\partial z}{\partial \lambda_2} \end{array} \right\vert, \end{displaymath}$

(2.9)

аналогично и для остальных компонент J.

Из дифференциальной геометрии известно, что для параметрически заданной поверхности ${\bf r}={\bf r}(\lambda_1,\lambda_2)$ площадь элемента поверхности можно записать в виде

$\begin{displaymath} \,{\rm d} \Sigma = \sqrt{ \left[ \frac{\partial (y,z)}{\pa... ...ambda_2)} \right]^2} \,{\rm d} \lambda_1 \,{\rm d} \lambda_2, \end{displaymath}$

(2.10)

так что в наших обозначениях

$\begin{displaymath} \,{\rm d} \Sigma = \vert{\bf J}\vert \,{\rm d} \lambda_1 \,{\rm d} \lambda_2. \end{displaymath}$

(2.11)

Единичный вектор нормали к поверхности есть

$\begin{displaymath} {\bf n} = \frac{\bf J}{\vert{\bf J}\vert}. \end{displaymath}$

(2.12)

Запишем формулу Гаусса - Остроградского для векторного поля ${\bf A}[P(x,y$ , , , в объеме $\Omega$ , ограниченного замкнутой поверхностью $\Sigma$ :

$\begin{displaymath} \int\limits_{\;\, \Sigma}\!\!\!\! \int \! ({\bf An}) \,{\rm... ...l R}{\partial z} \right) \,{\rm d} x \,{\rm d} y \,{\rm d} z. \end{displaymath}$

(2.13)

Взяв в качестве вектора A радиус-вектор ${\bf r}(x,y,z)$ и записывая интеграл в левой части уравнения (2.13) в параметрическом виде (используя выражения (2.11) и (2.12)), уравнение (2.13) преобразуем к следующему виду:

$\begin{displaymath} \int\limits_{\;\, D}\!\!\!\! \int \! ({\bf rJ}) \,{\rm d} \... ...\!\! \int \! 3 \,{\rm d} x \,{\rm d} y \,{\rm d} z = 3 \Omega, \end{displaymath}$

(2.14)

где -- область изменения лагранжевых координат $\lambda_1$ и $\lambda_2$ . Отсюда получаем выражение для объема, заключенного внутри поверхности ${\bf r}={\bf r}(\lambda_1,\lambda_2)$ :

$\begin{displaymath} \Omega = \frac{1}{3} \int\limits_{\;\, D}\!\!\!\! \int \! ({\bf rJ}) \,{\rm d} \lambda_1 \,{\rm d} \lambda_2. \end{displaymath}$

(2.15)

В новых обозначениях уравнения (2.1), (2.2) и (2.4) будут иметь вид:

$\begin{displaymath} \frac{{\rm d}\mu}{{\rm d}t} = \rho(x,y,z)\,[{\bf U}-{\bf V}(x,y,z)]\,{\bf J} \,{\rm d} \Lambda, \end{displaymath}$

(2.16)

$\begin{displaymath} \frac{{\rm d}(\mu{\bf U})}{{\rm d}t} = \Delta {\rm P}\,{\bf... ...\rm d}\mu}{{\rm d}t} \,{\bf V}(x,y,z) + \mu \,{\bf g}(x,y,z), \end{displaymath}$

(2.17)

$\begin{displaymath} \frac{{\rm d}E_t}{{\rm d}t} = L(t) - \int\limits_{\;\, D}\!\!\!\! \int \!{\rm P}_{in} ({\bf UJ}) \, \,{\rm d} \Lambda, \end{displaymath}$

(2.18)

где учтено равенство (2.3) и $\,{\rm d} \Lambda \equiv \,{\rm d} \lambda_1 \,{\rm d} \lambda_2$ . Расписывая производную в левой части уравнения (2.17) и перенося вправо слагаемое с $\frac{{\rm d}\mu}{{\rm d}t}$ , получим:

$\begin{displaymath} \mu \frac{{\rm d}{\bf U}}{{\rm d}t} = \Delta {\rm P}\,{\bf ... ...}{{\rm d}t} \,[{\bf U}-{\bf V}(x,y,z)] + \mu \,{\bf g}(x,y,z). \end{displaymath}$

(2.19)

Поскольку ${\bf U}= \frac{{\rm d}{\bf r}}{{\rm d}t}$ , окончательно получаем:

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{rcl} \vspace{1ex} \frac{{\rm d}\mu}{{... ...\! \int \! ({\bf rJ}) \, \,{\rm d} \Lambda. \end{array}\right. \end{displaymath}$

(2.20)

В приближении тонкого слоя движение оболочки описывается, таким образом, системой нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, замыкаемой уравнением состояния идеального газа.

Sergey Mashchenko 2000-10-25